Numero piramidale quadrato

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I numeri piramidali quadrati appartengono ai numeri figurati , più precisamente ai numeri piramidali . Quantificano il numero di sfere che possono essere utilizzate per costruire una piramide a base quadrata. Poiché il grafico sottostante mostra l'esempio del quarto quadrato Pyramidalzahl 30, sono le somme dei primi numeri quadrati .

Numero piramidale quadrato.svg

Di seguito denotiamo il -esimo numero piramidale quadratico.

Si applica

.

I primi numeri piramidali quadratici sono

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (sequenza A000330 in OEIS )

Per alcuni autori, lo zero non è un numero piramidale quadratico, quindi la sequenza di numeri inizia solo con uno.

Funzione di generazione

La funzione generatrice dei numeri piramidali quadratici è

Relazioni con altri numeri figurati, ulteriori rappresentazioni

Si applica

con i coefficienti binomiali e

con i numeri tetraedrici .

Inoltre, con il -esimo numero triangolare:

Numeri figurati correlati

Altri

  (Segui A159354 in OEIS )

Derivazione della formula empirica

La differenza tra due numeri quadrati consecutivi è sempre un numero dispari. Più precisamente, a causa del fatto che la differenza tra il numero -esimo e -esimo quadrato è. Questo dà il seguente schema:

Un numero quadrato può quindi essere rappresentato come la somma di numeri dispari, cioè si applica . Questa visualizzazione della somma viene ora utilizzata per visualizzare la somma dei primi numeri quadrati per mezzo di un insieme di numeri dispari disposti in un triangolo. La somma di tutti i numeri dispari nel triangolo corrisponde esattamente alla somma dei primi numeri quadrati.

Ora disponi gli stessi numeri dispari in altri due modi per formare un triangolo congruente.

    

Se metti questi triangoli uno sopra l'altro, la somma di ogni colonna composta da tre numeri è sempre costante e ci sono tali colonne. Quindi la somma di tutti i numeri dispari dei tre triangoli è esattamente tre volte la somma dei primi numeri quadrati. Si applica quanto segue:

Guarda anche

letteratura